素数2357

メルセンヌ素数とは？

素数の中で、メルセンヌ数の素数を「メルセンヌ素数」と呼びます。

このページでは、メルセンヌ数とメルセンヌ素数の説明に加えて、メルセンヌ素数の一覧をダウンロードできるようにしてあります。

メルセンヌ数って何？

メルセンヌ数の求め方は、1、2、3、4、…という自然数を$n$とした時に、$2^{n}-1$の式で求めることができます。この答えがメルセンヌ数です。
このメルセンヌ数が素数の時、その素数を「メルセンヌ素数」と呼びます。

答えが素数の時は$n$も素数です。（しかし$n$が素数でも、答えは全てが素数にはなりません。）

メルセンヌ素数は $2^{p}-1=M_p$という数式で表すこともあります。

メルセンヌ数はとても面白い特徴を持った数字です。もう少し詳しくメルセンヌ数を理解してみましょう。

メルセンヌ数を計算してみよう

まず、$2^{n}-1$の$n$に数字を当てはめて計算してみましょう。
※例: $2^{3}=2\times{2}\times{2}$です。

$n=2$の場合 $2^{2}-1=3$
$n=3$の場合 $2^{3}-1=7$
$n=4$の場合 $2^{4}-1=15$
$n=5$の場合 $2^{5}-1=31$
$n=6$の場合 $2^{6}-1=63$
$n=7$の場合 $2^{7}-1=127$
$n=8$の場合 $2^{8}-1=255$
$n=9$の場合 $2^{9}-1=511$

上の赤い行は素数ですからメルセンヌ素数です。

メルセンヌ数の何が面白いかというと、これらの数値を2進数にしたときに全部1になるのです。
「？？」ですか？

二進数って何？

2進数とは、0と1だけで表す数のことで、2で桁が上がる数字です。
でも私たちは10で桁が上がる10進数を使いますから馴染みがありませんね。数字を2進数になおして理解してみましょう。

10進数を2進数にする

10進数	2進数	2進数にする考え方
0	0	0と1は10進数も2進数も同じ
1	1
2	10	1と0しか使えないので、2は桁を増やして「10」
3	11	3は2の「10」の1桁目を1にして「11」
4	100	1と0しか使えないので、4は桁を増やして「100」
5	101	5は4の「100」の1桁目を1にして「101」
6	110	6は5の「101」の2桁目を1にし、1桁目を0にして「110」
7	111	7は6の「110」の1桁目を1にして「111」
8	1000	1と0しか使えないので、8は桁を増やして「1000」
9	1001
10	1010
11	1011
12	1100
13	1101
14	1110
15	1111

↑この一覧表で赤文字の部分を見て下さい。

2進数にしたときに、全部1の数字がありますね。これがメルセンヌ数なのです。上の表ですと、3、7、15です。更にメルセンヌ数は、31、63、127、255、511、1023、2047、8191と続きます。

では、$2^{n}-1$で計算した答えを二進数になおしてみましょう。赤字はメルセンヌ素数です。

$2^{2}-1=3$ 二進数では$11$
$2^{3}-1=7$ 二進数では$111$
$2^{4}-1=15$ 二進数では$1111$
$2^{5}-1=31$ 二進数では$11111$
$2^{6}-1=63$ 二進数では$111111$
$2^{7}-1=127$ 二進数では$1111111$
$2^{8}-1=255$ 二進数では$11111111$
$2^{9}-1=511$ 二進数では$111111111$

※よく見ると、メルセンヌ数を2進数に直すと$n$の数に等しい回数だけ、1が並ぶことがわかりますね。

このうなメルセンヌ数の特徴から、メルセンヌ素数も2進数にすると1が$n$回並ぶ素数なのです。面白いですね！（面白くないか。）

メルセンヌ素数一覧・ダウンロード

現在までに分かっている50個のメルセンヌ素数の$2^{p}-1=M_p$の式を一覧にしました。

途中までメルセンヌ素数（計算結果）も併記しました。（素数自体が大きいものは、クリックすると答えが表示され、もう一度クリックすると答えが隠れます。）

2018年1月現在最大の50番目の素数は$2^{77232917}-1$です。$2^{77232917}-1$とは、${2}\times{2}\times{2}$…と、$77232917$回掛け算してから1を引いた数です。2324万9425桁の数字なんですよ！すごいですね～！

49番目のメルセンヌ素数では$2^{74207281}-1$で、2233万8618桁もありますし、48番目のメルセンヌ素数$2^{57885161}-1=$も1742万5170桁あり、48番目の素数を書いたファイルでさえ17メガバイト(MB)を超えるサイズになります！

※$2^{11213}-1$以降どんどん桁数が大きくなるので、式のみ記載しました。これらのメルセンヌ素数が必要な方は、下部からメルセンヌ素数一覧をダウンロードできます。

単なる素数も美しいですが、メルセンヌ素数はさらにエレガントな魅力がありますね！

50番目のメルセンヌ素数$2^{77232917}-1$は、2324万9425桁の素数ですが、パソコン（0と1で考える2進数）でこのメルセンヌ素数$2^{77232917}-1$を表示するときには、7723万2917個の1が並んだ2進数になります。

2進数って面白いでしょ？（面白って言って！笑）

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